நீண்டகால ஒருங்கிணைவு: ரூலெட்டில் பெரு எண்களின் விதி
சராசரி −2.70%-ஐ நோக்கி எவ்வாறு நிலைபெறுகிறது; அது உள்ளுணர்வு கருதுவதை விட ஏன் நீண்ட நேரம் எடுக்கிறது.
சுழல்கள் கூடும்போது ஒரு சுழலுக்கான சராசரி இழப்பு −1/37-ஐ நோக்கிச் சேர்கிறது; அதன் பரவல் 1/√N போலக் குறைகிறது. சிவப்பில் 1,000 சுழல்களுக்குப் பிறகு சராசரி பொதுவாக அதன் எதிர்பார்ப்பின் ±3%-க்குள் இருக்கும்.
பெரும் எண்களின் விதி
சுயாதீனமான பந்தயங்களின் ஓடும் சராசரி எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைகணிதம்எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புநீண்டகாலத்தில் ஒவ்வொரு பந்தயத்திற்குமான சராசரி முடிவு. ஒவ்வொரு தரநிலை ஐரோப்பியப் பந்தயத்திற்கும் பந்தயத் தொகையின் −1/37.முழுவதும் படிக்கவும் → நோக்கிச் செல்கிறது. ஒரு அலகில்பணம்அலகுஒரு முறை அல்லது விளையாட்டாளர் பயன்படுத்தும் அடிப்படை பந்தயத் தொகை. எந்த மேசையிலும் பொருந்துமாறு முன்னேற்ற முறைகள் அலகுகளில் விவரிக்கப்படுகின்றன.முழுவதும் படிக்கவும் → N சமத் தொகைப் பந்தயச் சுழல்களுக்குப் பிறகு, ஒரு சுழலுக்கான சராசரி முடிவின் எதிர்பார்ப்பு −1/37; நிலையான விலகல்கணிதம்நிலையான விலகல்மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம்; ஒரு முடிவின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிலிருந்து உள்ள வழக்கமான தூரம்.முழுவதும் படிக்கவும் → 1/√N. N = 100-இல் அந்தப் பரவல் பந்தயத் தொகையின் 10%; 2.7% குறிகாட்டியைப் போல ஏறத்தாழ நான்கு மடங்கு. N = 1,000-இல் 3.2%; குறிகாட்டியைப் போலவே. N = 10,000-இல் 1%; விளிம்பு தெளிவாகத் தெரிகிறது. அமர்வில் விளிம்பு கண்ணுக்குத் தெரியாது; ஆண்டில் சந்தேகமில்லாமல் தெரியும்.
எது சேர்கிறது; எது சேர்வதில்லை
ஒரு சுழலுக்கான சராசரி சேர்கிறது. மொத்தம் சேர்வதில்லை: N அதிகரிக்கும்போது அது பூஜ்யத்திலிருந்து மேலும் விலகுகிறது; எதிர்பார்ப்பில் N-ன் சுமார் 2.7%, அதைச் சுற்றி √N பரவலுடன். $10-இல் 10,000 சுழல்கள் விளையாடிய வீரர் $2,700 கீழே இருப்பார் என எதிர்பார்க்கப்படுகிறது; ±$1,000 வித்தியாசம் இருக்கலாம். சிவப்புகளின்பந்தயம்சிவப்பு18 சிவப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: rouge.முழுவதும் படிக்கவும் → ஓடும் விகிதம் நீண்டகாலமாக 48.65%-க்கு அருகில் நிலைபெற்றிருக்கும்; ஓடும் இருப்பு எங்கும் நிலைபெறாது.
- p10 −$440
- p25 −$280
- இடைநிலை −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
உள்ளுணர்வு ஏன் தோல்வியடைகிறது
2.70% பெரியதாகத் தோன்றுவதால் விளிம்பு விரைவில் தெரிய வேண்டும் என்றும், சராசரிகள் சேரும் என்று பெரும் எண்களின் விதிகணிதம்பெரு எண்களின் விதிசுயாதீன முடிவுகளின் சராசரி, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை வளர வளர எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பை அணுகுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → சொல்வதால் நீண்ட தொடர்கள் “சமமாகிவிடும்” என்றும் மக்கள் எதிர்பார்க்கிறார்கள். இரு உள்ளுணர்வுகளும் அளவைத் தவறாக மதிப்பிடுகின்றன: ஒரே சுழலின் மாறுபாட்டுடன்கணிதம்மாறுபாடுமுடிவுகள் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைச் சுற்றி எவ்வளவு பரவலாகப் பரவுகின்றன என்பதற்கான அளவு. நேரடி எண் பந்தயத்தில் அதிகம்; சமத் தொகைப் பந்தயங்களில் குறைவு.முழுவதும் படிக்கவும் → ஒப்பிடும்போது விளிம்பு சிறியது (σ = 1 அலகு; EV = 0.027); எனவே ஒரு-சிக்மாவாகத் தெரிய (1/0.027)² ≈ 1,400 சுழல்கள் தேவை. சராசரியின் சேர்தல் மொத்தத்தை மீண்டும் மேலே இழுப்பதில்லை; அது கடந்த ஏற்ற இறக்கங்களை மட்டுமே நீர்த்துகிறது.
மற்ற பந்தயங்களுக்கான சேர்தல்
நேரடி எண் பந்தயங்களுக்குபந்தயம்நேரடி எண் பந்தயம்ஒரு தனி எண்; 35:1 தருகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → σ = 5.84; ஆகவே அதே கணக்கு விளிம்பு ஒரு சிக்மாவை அடைய (5.84/0.027)² ≈ 47,000 சுழல்கள் தேவை எனத் தருகிறது. சிவப்பு வீரர் வாரங்களுக்குள் பார்க்கும் அதே 2.70%-ஐச் செலுத்தியபடியே, நேரடி எண் பந்தய வீரர் தன் பதிவுகளில் விளிம்பு அதிர்ஷ்டத்திலிருந்து வேறுபடாமல் பல ஆண்டுகள் விளையாட முடியும்.
முறைகளைச் சோதிப்பதற்கான உட்குறிப்பு
ஒரு முறை செயல்படுகிறது எனக் கூறுபவர் ஆவணப்படுத்தப்பட்ட நேர்மறை சராசரியுடன் 10,000 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சுழல்களில் அதை காட்ட முடியும். 1,000 சுழல்களில் சமத் தொகைப் பந்தயத்தின் நேர்மறை சராசரி, பூஜ்யக் கருதுகோளில் ஐந்தில் ஒன்று; 100 சுழல்களில் கிட்டத்தட்ட நாணய வீச்சு. இந்தத் தளத்தின் உருவகப்படுத்திகள் உங்கள் தேர்ந்தெடுத்த நீளத்தில் 2,000 அமர்வுகளை ஒரு வினாடியில் இயக்குகின்றன; அது எந்தச் சான்றுரையையும் விட அதிகச் சான்று.
சூத்திரம்
கேள்விகள்
நீங்கள் விளையாடத் தொடரும்போது மீண்டும் முன்னிலையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுகணிதம்நிகழ்தகவுஒரு முடிவுக்கான வாய்ப்பு; 0 முதல் 1 அல்லது 0% முதல் 100% வரை. ஒரு எண்: 1/37 = 2.70%.முழுவதும் படிக்கவும் → பூஜ்யத்தை நோக்கிக் குறைகிறது. மொத்தம் வரம்பின்றி கீழ்நோக்கிச் செல்கிறது.
இல்லை. கடந்த ஏற்ற இறக்கங்கள் பெரிய மாதிரியின் சிறிய பங்காகிவிடுகின்றன என்பதே அதன் பொருள்.
சமத் தொகைப் பந்தயத்திற்கு விளிம்பு தெளிவாகத் தெரிவதற்கு சுமார் 10,000; நேரடி எண் பந்தயங்களுக்கு சுமார் 50,000.
கணிதத்துடன் விளையாட்டு
முதலில் இவற்றை நீங்களே முயற்சிக்கவும். ஒவ்வொரு தீர்வும் மடக்கப்பட்டுள்ளது; தயாரானபோது திறக்கவும்.
இரு நண்பர்கள் நேர்மையான விளையாட்டுகணிதம்நேர்மையான விளையாட்டுஎந்தத் தரப்புக்கும் விளிம்பு இல்லாத விளையாட்டு: ஒவ்வொரு பந்தயத்திற்கும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு பூஜ்யம்.முழுவதும் படிக்கவும் →, நாணய வீச்சு அல்லது சிவப்புபந்தயம்சிவப்பு18 சிவப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: rouge.முழுவதும் படிக்கவும் →க்கு எதிரான கருப்புபந்தயம்கருப்பு18 கருப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: noir.முழுவதும் படிக்கவும் →, பூஜ்யங்கள்சக்கரம்பூஜ்யம்எந்த சமத் தொகை, டசன், நெடுவரிசைப் பந்தயமும் மூடாத ஒரே பச்சைக் குழி; கேசினோ விளிம்பின் மூலாதாரம். ஒற்றைப் பூஜ்யம், 0 என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → திருப்பப்பட்ட நிலையில், 20 சுற்றுகள் விளையாடி நடப்பு மதிப்பெண்ணை வைத்திருக்கிறார்கள். ஒவ்வொருவரும் முன்னிலையில் இருக்கும் சுற்றுகளை எண்ணுங்கள் (சமநிலை என்றால் அதற்கு முன் முன்னிலை வகித்தவருக்கே கணக்கு). எது அதிக வாய்ப்புள்ளது: முன்னிலை 10 சுற்றுக்கு 10 எனப் பகிரப்படுவதா, அல்லது ஒருவர் 20 சுற்றுகளிலும் முன்னிலை வகிப்பதா?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் ஒரு நண்பர் 20 சுற்றுகளிலும் முன்னிலை வகிப்பது மிக அதிக வாய்ப்புள்ளது: இரு நண்பர்களில் எவராக இருந்தாலும் 35.2%; சமமான 10 to 10 க்கு 6.1% மட்டுமே.
2k சுற்றுகளுக்குப் பிறகு நேர்மையான நடப்பு மதிப்பெண் சமமாக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 சுற்றுகளுக்குப் பிறகு 0.246; 20 க்குப் பிறகு 0.176. ஒரு பாரம்பரிய முடிவு, arc-sine law, பெயரிடப்பட்ட ஒரு நண்பர் 2n சுற்றுகளில் துல்லியமாக 2k சுற்றுகள் முன்னிலை வகிப்பதற்கான வாய்ப்பு u(2k) × u(2n − 2k) என்கிறது.
20 முழுவதும் முன்னிலை: ஒவ்வொரு நண்பருக்கும் u(20) × u(0) = 0.176; இருவரில் ஒருவருக்கு 35.2%. சமப் பங்கு: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%; எல்லாப் பங்குகளிலும் மிகக் குறைந்த வாய்ப்பு.
ஆகவே நேர்மையான விளையாட்டில் முன்னிலை அரிதாகவே கைமாறும். மாலை முழுவதும் முன்னிலையில் இருந்த அல்லது பின்னிலையில் இருந்த வீரர் அசாதாரணமான எதையும் காணவில்லை; அது சக்கரம் அல்லது திறன் பற்றி எதையும் சொல்வதில்லை. Epstein (2013), நீண்ட விளையாட்டுகளுக்கும் இதே விதியைத் தருகிறார்: பாதி நேரம் அதிர்ஷ்டசாலியான பக்கம் விளையாட்டின் 85% க்கும் மேலாக முன்னிலை வகிக்கும்.
நகைச்சுவை இடைவெளி
சராசரி சேர்கிறது. மொத்தம் வெறுமனே விலகிச் செல்கிறது.
மூலங்கள்
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.