சிக்கல்: பிறந்தநாள் சக்கரம்
ஒரு எண் மீண்டும் வருவதற்கு முன் எத்தனை சுழல்கள்? பெரும்பாலோர் ஊகிப்பதை விட மிகக் குறைவு.
37-குழிஉபகரணம்குழிரோட்டரில் உள்ள 37 எண்ணிட்ட அறைகளில் ஒன்று. slot, cup என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → சக்கரத்தின் பிறந்தநாள் பிரச்சினை: வெறும் 8 சுழல்களுக்குப் பிறகே ஏதோ ஒரு எண் இருமுறை வந்திருக்கும் வாய்ப்பு பாதியை விட அதிகம். வீரர்கள் மீள்வருதல்களை வடிவங்களாகப் படிக்கிறார்கள்; அவை நியாயமான சக்கரத்தின் எதிர்பார்க்கப்படும் நடத்தை.
பிரச்சினை
நியாயமான ஐரோப்பிய சக்கரத்தைச் சுழற்றுங்கள். குறைந்தது இரண்டு சுழல்கள் ஒரே எண்ணைக் காட்டியிருக்கும் நிகழ்தகவுகணிதம்நிகழ்தகவுஒரு முடிவுக்கான வாய்ப்பு; 0 முதல் 1 அல்லது 0% முதல் 100% வரை. ஒரு எண்: 1/37 = 2.70%.முழுவதும் படிக்கவும் → பாதியைத் தாண்டுவதற்கு எத்தனை சுழல்கள் தேவை? பெரும்பாலான வீரர்கள் 37-ன் பாதியான 18 அல்லது 19 என்று ஊகிப்பார்கள். விடை 8.
தீர்வு
மீள்வருதல் இல்லாத நிகழ்தகவைக் கணக்கிட்டு ஒன்றிலிருந்து கழியுங்கள். k சுழல்களுக்குப் பிறகு, p(அனைத்தும் வேறுபட்டவை) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8-க்கு: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44; ஆகவே p(சில மீள்வருதல்) ≈ 0.56. k = 14-க்கு 0.93; k = 20-க்கு 0.996. உள்ளுணர்வு தோல்வியடைவது சுழல் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை k²-ஆக வளரும்; எந்த ஜோடியும் பொருந்தலாம்.
மேசையில் அது ஏன் முக்கியம்
கடைசி 20 எண்களைக் காட்டும் முடிவுப் பலகையில் எப்போதும் குறைந்தது ஒரு மீள்வருதல் இருக்கும்; பெரும்பாலும் இரண்டு அல்லது மூன்று. “பத்து சுழல்களில் 17 இருமுறை வந்தது” என்று வீரர்கள் பார்த்து 17 சூடாக உள்ளது என முடிவெடுக்கிறார்கள்; பத்து சுழல்களுக்குள் மீள்வருதல் 74% நேரம் நிகழ்கிறது; மீண்டும் வந்த எண் சீரற்றது என்பதே பிறந்தநாள் கணக்கு சொல்வது. வடிவம் உண்மை; அதன் பொருள் இல்லை.
தொடர்கேள்வி
17 போன்ற குறிப்பிட்ட எண் இருமுறை வர எத்தனை சுழல்கள்? அது வேறு, மிகப் பெரிய விடையுடைய கேள்வி: எதிர்பார்க்கப்படும் காத்திருப்பு 74 சுழல்கள்; 20 சுழல்களில் இரண்டு 17-கள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 10%. “ஏதோ ஒரு எண் மீள்கிறது” (8 சுழல்கள்) என்பதற்கும் “இந்த எண் மீள்கிறது” (74 சுழல்கள்) என்பதற்கும் உள்ள வேறுபாடே பின்னர் கவனிக்கும் வடிவத்திற்கும் முன்கூட்டியே செய்யும் முன்னறிவிப்பிற்கும் உள்ள முழு வேறுபாடு.
முயற்சிக்கவும்
Demo Game-ஐ பத்து சுழல்களுக்கு இயக்கி வரலாற்றைப் பாருங்கள். வழக்கமாக ஒரு மீள்வருதல் இருக்கும். மீண்டும் இயக்குங்கள். மீண்ட எண் வேறாக இருக்கும். இதை பத்து முறை செய்தால் பிறந்தநாள் பிரச்சினையைகணிதம்பிறந்தநாள் சிக்கல்இரு பேர் ஒரே பிறந்தநாளைப் பகிரும் வாய்ப்பு அதிகமாகும்முன் தேவைப்படும் மனிதர்களின் எண்ணிக்கை, அல்லது ஓர் எண் மீண்டும் வரும்முன் தேவைப்படும் சுழல்களின் எண்ணிக்கை. 37-குழிச் சக்கரத்தில், 8 சுழல்கள் பாதிக்கு மேற்பட்ட வாய்ப்புக்கு போதும்.முழுவதும் படிக்கவும் →ப் பார்த்திருக்கிறீர்கள்; ஆயிரம் முறை செய்தால் (உருவகப்படுத்திகள் செய்ய முடியும்) அதை அளந்திருக்கிறீர்கள்.
சூத்திரம்
கேள்விகள்
ஆம்; 365 நாட்களுக்குப் பதில் 37 குழிகளுடன். பிறந்தநாள்களுக்கு 23 பேர் 50% தருகிறார்கள்; சக்கரத்திற்கு 8 சுழல்கள் 56% தருகின்றன.
சுமார் 19 சுழல்களுக்குப் பிறகு 50%. அதுவும் வழக்கமானதே.
இல்லை. ஒரு சக்கரத்திலிருந்து ஆயிரக்கணக்கான சுழல்கள் குறிக்கலாம்; மீள்வருதல் ஒருபோதும் குறிக்காது.
கணிதத்துடன் விளையாட்டு
முதலில் இவற்றை நீங்களே முயற்சிக்கவும். ஒவ்வொரு தீர்வும் மடக்கப்பட்டுள்ளது; தயாரானபோது திறக்கவும்.
அமெரிக்க சக்கரத்தருகே உள்ள முடிவுப் பலகை கடைசி 16 சுழல்களைக் காட்டுகிறது. அதில் எந்த எண்ணும் இருமுறை வராமல் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு என்ன?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் சுமார் 2.5%: 40 பலகைகளில் சுமார் 39 இல் குறைந்தது ஒரு மீள்வருகை இருக்கும்.
சுழல் சுழலாகச் செல்லுங்கள். முதல் சுழல் எதுவாகவும் இருக்கலாம். இரண்டாவது அதைத் தவறவிட வேண்டும்: 38 இல் 37 வாய்ப்புகள். மூன்றாவது இரண்டையும் தவறவிட வேண்டும்: 38 இல் 36. பதினாறாவது பதினைந்து எண்களைத் தவறவிட வேண்டும்: 38 இல் 23.
பெருக்கவும்: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
மீள்வருகை இல்லாத பலகைதான் அரியது. மீள்வருகையுள்ள பலகை சக்கரத்தைப் பற்றி எதுவும் கூறுவதில்லை.
ஐரோப்பிய சக்கரத்தின் பத்து சுழல்களில், 17 துல்லியமாக ஐந்து முறை வருவதற்கான வாய்ப்பு என்ன? ஏதேனும் எண், எந்த எண்ணாக இருந்தாலும், ஐந்து அல்லது அதற்கு மேல் வருவதற்கு? நான்கு சுழல்களில் ஏதேனும் எண் குறைந்தது மூன்று முறை வருவதற்கு?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் 17 துல்லியமாக ஐந்து முறை: 3,15,576 இல் 1. ஏதேனும் எண் ஐந்து அல்லது அதற்கு மேல்: சுமார் 8,333 இல் 1. நான்கு சுழல்களில் ஏதேனும் எண் குறைந்தது மூன்று முறை: 349 இல் 1.
17 ஐந்து முறை: பத்து சுழல்களில் எந்த ஐந்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், 252 வழிகள்; ஒவ்வொன்றுக்கும் (1/37)⁵ × (36/37)⁵ வாய்ப்பு. மொத்தம் 3,15,576 இல் 1.
ஏதேனும் எண்: 37 எண்கள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஐந்து அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வெற்றிகளுக்கு 3,08,325 இல் 1 வாய்ப்பு; 3,08,325 இல் 37, அல்லது 8,333 இல் 1. இரண்டு எண்கள் தலா ஐந்து வெற்றிகள் பெறும் அரிய நிலை இருமுறை எண்ணப்படுகிறது; அதை நீக்கினாலும் இந்தத் துல்லியத்தில் எதுவும் மாறாது.
நான்கு சுழல்களில் மூன்று முறை: ஒரு எண்ணுக்கு, 4 × 36 + 1 = 145 என்பது 37⁴ சாத்தியமான முடிவுகளில்; எந்த 37 எண்களுக்கும், 145/37³ = 349 இல் 1.
இரட்டை-பூஜ்யசக்கரம்பூஜ்யம்எந்த சமத் தொகை, டசன், நெடுவரிசைப் பந்தயமும் மூடாத ஒரே பச்சைக் குழி; கேசினோ விளிம்பின் மூலாதாரம். ஒற்றைப் பூஜ்யம், 0 என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → சக்கரத்தில் தொடர்புடைய எண்கள் 3,59,275 இல் 1, 9,243 இல் 1, 368 இல் 1. “17” மற்றும் “ஏதேனும் எண்” இடையிலான வேறுபாடு மீண்டும் பிறந்தநாள் சிக்கல்கணிதம்பிறந்தநாள் சிக்கல்இரு பேர் ஒரே பிறந்தநாளைப் பகிரும் வாய்ப்பு அதிகமாகும்முன் தேவைப்படும் மனிதர்களின் எண்ணிக்கை, அல்லது ஓர் எண் மீண்டும் வரும்முன் தேவைப்படும் சுழல்களின் எண்ணிக்கை. 37-குழிச் சக்கரத்தில், 8 சுழல்கள் பாதிக்கு மேற்பட்ட வாய்ப்புக்கு போதும்.முழுவதும் படிக்கவும் → தான்: ஆச்சரியப்பட 37 வழிகள் உள்ளன.
நகைச்சுவை இடைவெளி
ஏதோ ஒன்று விரைவில் மீள்கிறது. அந்த ஏதோ ஒன்று சீரற்றது.
மூலங்கள்
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.