ரூலெட்டில் தொடர்ச்சிகளின் நிகழ்தகவு
ஒரே நிறத்தின் நீண்ட தொடர்கள் பொதுவானவை. அடுத்த சுழலுக்கு அவை அர்த்தமற்றவையும்.
தொடர்ந்து ஐந்து சிவப்புகள்: 2.7%. பத்து: 0.074%. 200-சுழல் அமர்வில் ஒரு நிறத்தின் ஆறு தொடர், இல்லாததை விட அதிக முறை தோன்றும்.
தோல்வித் தொடர் எவ்வளவு அடிக்கடி வருகிறது
ஒற்றை-பூஜ்ய சக்கரத்தில் சமத் தொகைப் பந்தயம் 37 சுழல்களில் 19 இல் தோற்கிறது. ஒவ்வொரு வரிசையும் குறிப்பிட்ட சுழல் தொடரில் அனைத்தும் தோற்கும் வாய்ப்பையும், ஒவ்வொரு தோல்விக்குப் பிறகும் இரட்டிப்பாக்கும் Martingale வீரர் அதற்குள் இழந்திருப்பதையும் காட்டுகிறது.
| தொடர்ச்சியான தோல்விகள் | வாய்ப்பு | சுமார் 1 இல் | இதுவரை இழந்தது | அடுத்த பந்தயம் |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
வாய்ப்பு 19/37 ஐ ஒவ்வொரு தோல்விக்கும் தன்னுடன் ஒருமுறை பெருக்கியது; ஒரு குறிப்பிட்ட சுழலிலிருந்து எண்ணப்படுகிறது. நீண்ட அமர்வில் அத்தகைய தொடர் தொடங்கக்கூடிய பல சுழல்கள் உள்ளன, எனவே ஒரு மாலை முழுவதில் ஒரு வரிசை காட்டுவதைவிட இது அதிக வாய்ப்புள்ளது.
ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்
நிகழ்தகவுகணிதம்நிகழ்தகவுஒரு முடிவுக்கான வாய்ப்பு; 0 முதல் 1 அல்லது 0% முதல் 100% வரை. ஒரு எண்: 1/37 = 2.70%.முழுவதும் படிக்கவும் →: அடுத்த k சுழல்களும் சிவப்பாகபந்தயம்சிவப்பு18 சிவப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: rouge.முழுவதும் படிக்கவும் → இருப்பது (18/37)ᵏ. இரண்டு: 23.7%. ஐந்து: 2.7%. பத்து: 0.074%, சுமார் 1,350-ல் 1. இருபது: 1.8 மில்லியனில் 1. Monte Carlo சாதனையான இருபத்தாறு: 137 மில்லியனில் 1. இவை குறிப்பிட்ட ஒரு சுழலில் தொடங்கும் குறிப்பிட்ட தொடரின் நிகழ்தகவுகள்; உண்மையில் யாரும் கேட்பதில்லாத கேள்வி அதுதான்.
ஒரு அமர்வில்
மக்கள் உண்மையில் கேட்பது “என் அமர்வில் எங்காவது k நீளத் தொடர் வருமா?” என்பதே; 200-சுழல் அமர்வு தொடர் தொடங்க ஏறத்தாழ 200 இடங்களைத் தருவதால் விடை (18/37)ᵏ-ஐ விட மிகப் பெரியது. ஒரே நிறத்தில், சிவப்பு அல்லது கருப்புபந்தயம்கருப்பு18 கருப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: noir.முழுவதும் படிக்கவும் →, ஆறு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தொடர் 200-சுழல் அமர்வில் சுமார் 94% நேரம் தோன்றும்; எட்டு அல்லது அதற்கு மேல் சுமார் 47%; பத்து அல்லது அதற்கு மேல் சுமார் 14%. நிறத்தை முன்கூட்டியே சொன்னால் வாய்ப்புகள் முறையே சுமார் 75%, 27%, 7% எனக் குறையும். ஒரு மாலை அமர்ந்து விளையாடும் வீரர் ஒவ்வொரு மாலையும் நீண்ட தொடர்களைக் காண்பார்.
மார்டிங்கேல் ஏன் கவலைப்படுகிறது
ஒவ்வொரு எதிர்மறை முன்னேற்ற முறைக்கும்உத்திமுன்னேற்ற முறைமுந்தைய முடிவுகளைப் பொறுத்து பந்தயத் தொகையை மாற்றும் எந்த விதியும். எதிர்மறை முன்னேற்றங்கள் இழப்புக்குப் பின் உயர்த்தும்; நேர்மறை முன்னேற்றங்கள் வெற்றிக்குப் பின் உயர்த்தும்.முழுவதும் படிக்கவும் → அதை முறிக்கும் தொடர் நீளம் உண்டு: $500 வரம்பில் $10 அடிப்படைக்கு ஆறு இழப்புகள்; Fibonacciஉத்திஃபிபொனாச்சி1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… என்ற தொடரைப் பின்பற்றும் முன்னேற்ற முறை: இழப்புக்குப் பிறகு ஒரு படி முன்னே, வெற்றிக்குப் பிறகு இரண்டு படிகள் பின்னே.முழுவதும் படிக்கவும் →-க்கு பத்து; டசன்களில்பந்தயம்டசன்1–12, 13–24 அல்லது 25–36; 2:1 தருகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → மும்மடங்காக்குவதற்கு ஐந்து. சமத் தொகைப் பந்தயத்தில் ஆறு இழப்புத் தொடரின் நிகழ்தகவு (19/37)⁶ ≈ ஒரு முயற்சிக்கு 1.8%; 200-சுழல் அமர்வில் ஏறத்தாழ 100 முயற்சிகள் உள்ளன; எனவே அந்த நீளத்தின் ஐந்து அமர்வுகளில் சுமார் நான்கில் முறிவு வரும். ரூலெட்டில் தொடர்களின் நிகழ்தகவே அந்தப் பள்ளத்தாக்கு அரிதல்ல என்பதற்கான காரணம்.
சூடான, குளிர்ந்த எண்கள்
அதே கணக்கு நேரடி எண் பந்தயங்களுக்கும்பந்தயம்நேரடி எண் பந்தயம்ஒரு தனி எண்; 35:1 தருகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → பொருந்தும். 300 சுழல்களில் ஒரு எண்ணுக்கான எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை 8.1; நிலையான விலகல்கணிதம்நிலையான விலகல்மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம்; ஒரு முடிவின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிலிருந்து உள்ள வழக்கமான தூரம்.முழுவதும் படிக்கவும் → சுமார் 2.8. சில எண் 15 வெற்றிகளையும் சில எண் 2 வெற்றிகளையும் வாய்ப்பினால் மட்டுமே ஒவ்வொரு முறையும் காட்டும். “சூடான” எண்களை ஒளிரச்செய்யும் முடிவுப் பலகை ஒரு இயல்பான பரவலின் உச்சியைத்தான் ஒளிரச்செய்கிறது. ஒரு சூடான எண்கட்டுக்கதைசூடான எண்சமீபத்தில் எதிர்பார்த்ததைவிட அடிக்கடி வந்த எண். நேர்மையான சக்கரத்தில் அது எதையும் முன்னறிவிப்பதில்லை.முழுவதும் படிக்கவும் → ஏதாவது அர்த்தப்படுவதற்கு எத்தனை சுழல்கள் தேவை என்பதை Lab விளக்குகிறது (ஒரு அடையாளம் காணப்பட்ட சக்கரத்திலிருந்து ஆயிரங்கள்).
சுயாதீனமே முக்கியம்
பத்து சிவப்புகளின் தொடர் கருப்பை அதிக நிகழ்தகவு உடையதாக்காது; சிவப்பையும் அதிக நிகழ்தகவு உடையதாக்காது. இரண்டுமே 18/37. தொடர்கள் சீரற்ற வரிசைகளின் பண்பு; அவை இல்லாமலிருந்தால் சந்தேகத்திற்குரியவை: நான்கை விட நீளமான தொடர் இல்லாத 200 சுழல் வரிசை, பன்னிரண்டு நீளத் தொடருள்ள வரிசையை விடக் கையாளுதல் நடந்ததற்கான வலுவான சான்றாக இருக்கும்.
சூத்திரம்
கேள்விகள்
18 ஆகஸ்ட் 1913 அன்று Monte Carlo-வில் வந்த 26 கருப்புகள் புகழ்பெற்றது. 1943-ல் ஒரு அமெரிக்க கேசினோவில் தொடர்ந்து 32 சிவப்புகள் வந்ததாக அறிக்கை செய்யப்பட்டது. கேசினோக்கள் இயக்கும் சுழல்களின் எண்ணிக்கையைப் பார்க்கையில் இரண்டும் வாய்ப்புடன் ஒத்துப்போகின்றன.
எந்த வழியிலும் அது 18/37 தான். உங்கள் திட்டம் சொல்வதில் பந்தயம் வையுங்கள்; அல்லது ஒன்றும் வைக்காதீர்கள்.
இல்லை. சாய்வு என்பது ஆயிரக்கணக்கான சுழல்களில் சில குழிகள்உபகரணம்குழிரோட்டரில் உள்ள 37 எண்ணிட்ட அறைகளில் ஒன்று. slot, cup என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → அதிகமாக விழுவதில் தெரியும்; நிறத் தொடர்களில் அல்ல.
கணிதத்துடன் விளையாட்டு
முதலில் இவற்றை நீங்களே முயற்சிக்கவும். ஒவ்வொரு தீர்வும் மடக்கப்பட்டுள்ளது; தயாரானபோது திறக்கவும்.
ஐரோப்பிய சக்கரத்தின் 37 எண்களில் ஒவ்வொன்றும் குறைந்தது ஒருமுறை வந்திருக்கும் வரை, சராசரியாக எத்தனை சுழல்கள் தேவை?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் சராசரியாக சுமார் 155 சுழல்கள்; நடுக்கோடு 147.
காத்திருப்பை ஒவ்வொரு புதிய எண்ணாக எண்ணுங்கள். முதல் சுழல் எப்போதும் புதிய எண்ணைக் காட்டும். 1 எண்ணைக் கண்டதும், 37 இல் 36 குழிகள்உபகரணம்குழிரோட்டரில் உள்ள 37 எண்ணிட்ட அறைகளில் ஒன்று. slot, cup என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → புதியவை; எனவே அடுத்த புதிய எண்ணுக்கு சராசரியாக 37/36 சுழல்கள் தேவை. k எண்களைக் கண்டதும், 37/(37 − k) தேவை.
காத்திருப்புகளைச் சேர்க்கவும்: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 சுழல்கள்.
இதில் பெரும்பகுதி முடிவில் உள்ளது. கடைசி எண் மட்டுமே சராசரியாக 37 சுழல்கள் எடுக்கும்; கடைசி ஐந்து சுமார் 85. அமெரிக்க சக்கரத்தில் அதே கூட்டுத்தொகை சுமார் 161 தரும். இது கூப்பன் சேகரிப்பாளர் சிக்கல்; வழக்கமான கணக்கீட்டிலிருந்தும் இதே சராசரி கிடைக்கும்.
ஐரோப்பிய சக்கரத்தின் 37 சுழல்களில், ஒவ்வொரு குழிக்கும் ஒரு சுழல் என்ற அளவில், எத்தனை வேறுபட்ட எண்களைப் பார்க்க எதிர்பார்க்கலாம்?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் சுமார் 23.6. ஏறத்தாழ மூன்றில் ஒரு பங்கு எண்கள், சுமார் 13, ஒருமுறையும் வராது.
17 என்று ஒரு எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். ஒவ்வொரு சுழலிலும் அது வராமல் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 36/37; ஆகவே 37 சுழல்களிலும் தவறுவதற்கான வாய்ப்பு (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அதே வாய்ப்பு; எனவே சராசரியாக 37 × 0.363 ≈ 13.4 எண்கள் இல்லை; 37 − 13.4 ≈ 23.6 வருகின்றன; அவற்றில் பல இருமுறை அல்லது அதற்கு மேல் வருகின்றன.
ரூலெட் வீரர்கள் இதை மூன்றில் ஒரு பங்கு விதி என்பார்கள். இது விதி அல்ல; மீள்வருகைகளின் கணிதம் மட்டுமே: சக்கர நீளமான ஓட்டத்தில் சுமார் மூன்றில் ஒரு பங்கு எண்கள் வெளியே அமர்கின்றன; நேர்மையான சக்கரத்திலும் வேறெதிலும் அதே. 38 குழிகளில் பங்கு (37/38)³⁸ ≈ 0.363 தான்; பெரிய சக்கரத்தில் அது 1/e ≈ 0.368 க்கு நிலையாகும்.
ஒரு நண்பர், சிவப்புபந்தயம்சிவப்பு18 சிவப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: rouge.முழுவதும் படிக்கவும் → அல்லது கருப்புபந்தயம்கருப்பு18 கருப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: noir.முழுவதும் படிக்கவும் → நிறங்களின் 50-உருப்படி இரு பட்டியல்களைக் காட்டுகிறார்; அவை பூஜ்யங்கள்சக்கரம்பூஜ்யம்எந்த சமத் தொகை, டசன், நெடுவரிசைப் பந்தயமும் மூடாத ஒரே பச்சைக் குழி; கேசினோ விளிம்பின் மூலாதாரம். ஒற்றைப் பூஜ்யம், 0 என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → நீக்கப்பட்ட சக்கரத்திலிருந்து வந்தவை எனக் கூறப்படுகின்றன. ஒன்றில் நிறம் 25 முறை மாறி, அதிகபட்ச ஓட்டம் ஆறு. மற்றொன்றில் 35 முறை மாறி, ஓட்டம் மூன்றை மீறாது. எது உருவாக்கப்பட்டது?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் இரண்டாவது. உண்மைப் பட்டியல் சுமார் 24 அல்லது 25 முறை நிறம் மாறும். 35 மாற்றங்கள் உள்ள ஒன்று சுமார் 500 பட்டியல்களில் ஒருமுறை வரும்; மூன்றை மீறும் ஓட்டமே இல்லாத ஒன்று 100 இல் சுமார் இருமுறை.
ஒவ்வொரு புதிய நிறமும் முந்தையதை மீண்டும் தரும் அல்லது மாறும்; இரண்டிற்கும் சம வாய்ப்பு. எனவே மாற 49 வாய்ப்புகள் சராசரியாக 24.5 மாற்றங்களைத் தரும்; சுமார் 3.5 ஏற்ற இறக்கத்துடன். முப்பத்தைந்து சராசரிக்கு மேல் அவ்வாறான மூன்று படிகள்; நேர்மையான சக்கரம் அத்தனை மாற்றங்களை சுமார் 500 பட்டியல்களில் ஒருமுறை தரும்.
ஓட்டங்களும் அதையே கூறுகின்றன. 50 கொண்ட உண்மைப் பட்டியலில் நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஓட்டம் சுமார் 98% நேரம் உண்டு; அதன் நீளமான ஓட்டம் பெரும்பாலும் ஐந்து அல்லது ஆறு.
சீரற்ற பட்டியலை உருவாக்கச் சொல்லப்படும் மக்கள் அதிகமாக நிறம் மாற்றுவார்கள்; ஏனெனில் நான்கு அல்லது ஐந்தின் ஓட்டம் அவர்களுக்கு ஒரு வடிவமாகத் தோன்றும். Taylor (2021), மாணவர்கள் உருவாக்கிய நாணய வீச்சுப் பட்டியல்களிலும் இதே அடையாளத்தைக் காட்டுகிறார்: உண்மையான சீரற்ற தன்மை மக்கள் எதிர்பார்ப்பதைவிட அதிக ஓட்டமுடையது.
கேசினோ கதைகள் கொண்ட ஒரு புத்தகம், ஒரு வீரரின் எண் தொடர்ந்து ஐந்து முறை வந்ததாகக் கூறி அதைச் சாதனையென அழைக்கிறது. ஐரோப்பிய சக்கரத்தில் அது எவ்வளவு அரிது? நாள் இரவும் இயங்கும் 20 மேசைகள் உள்ள, ஒவ்வொன்றும் ஒரு மணி நேரத்திற்கு 40 முறை சுழலும் ஒரு கேசினோவில் அது எவ்வளவு அடிக்கடி நிகழ வேண்டும்?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் பெயரிட்ட எண் தொடர்ந்து ஐந்து முறை: 69 மில்லியனில் 1. முதல் முறை வந்த பிறகு எந்த எண்ணாக இருந்தாலும், மேலும் நான்கு முறை வருதல்: 1.87 மில்லியனில் 1. அந்தக் கேசினோ ஆண்டுக்கு சுமார் 7 மில்லியன் முறை சுழலும்; ஆகவே ஆண்டுக்கு மூன்று அல்லது நான்கு ஐந்து-ஓட்டங்களைப் பார்க்க வேண்டும்.
பெயரிட்ட எண் ஒவ்வொரு சுழலிலும் 1/37 வாய்ப்பில் வரும்; ஆகவே தொடர்ந்து ஐந்து வருவதற்கான வாய்ப்பு (1/37)⁵ = 6,93,43,957 இல் 1. ஆனால் யாரும் எண்ணை முன்கூட்டியே பெயரிடவில்லை. முதலில் எது வந்தாலும், அடுத்த நான்கு சுழல்கள் அதையே மீண்டும் தர வேண்டும்: (1/37)⁴ = 18,74,161 இல் 1.
20 மேசைகள் × 40 சுழல்கள் × 24 மணிநேரம் × 365 நாட்கள் = ஆண்டுக்கு 70,08,000 சுழல்கள். ஒவ்வொரு சுழலும் ஓட்டத்தைத் தொடங்கலாம்; ஆகவே கேசினோ 70,08,000/18,74,161 ≈ 3.7 ஐந்து-ஓட்டங்களை ஆண்டுக்கு எதிர்பார்க்கிறது.
இவ்வகையான அதிகாரப்பூர்வச் சாதனை இல்லை; தேவையும் இல்லை: ஒரு மேசையில் அரிய நிகழ்வு, கேசினோ முழுவதும் வழக்கமானது; கதை அது நிகழ்ந்த மேசையைப் பற்றியே கூறப்படுகிறது. Goldman (2007) இன் கதை இரட்டை-பூஜ்ய சக்கரத்தில் அமைந்தது; அங்கு எண்கள் 79 மில்லியனில் 1, 2.09 மில்லியனில் 1.
நகைச்சுவை இடைவெளி
நீண்ட தொடர்கள்தான் சீரற்ற தன்மை காண்பிக்கும் தோற்றம்.
மூலங்கள்
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.