சிக்கல்: மேசை வரம்பு
$500 மேசையில் $10 மார்டிங்கேல். அது எவ்வளவு அடிக்கடி முறிகிறது, முறியும்போது எவ்வளவு இழக்கிறது, வரம்பை உயர்த்துவது உதவுமா?
தொடர்ந்து ஆறு இழப்புகள் அதை முறிக்கின்றன: ஒரு சுழற்சிக்கு 1.8%, 100-சுழல் அமர்வுகளில் சுமார் 60%. முறிவு $630 செலவாக்குகிறது. வரம்பை $5,000-க்கு உயர்த்தினால் முறிவு அரிதாகும் (ஒரு சுழற்சிக்கு 0.25%); பெரியதாகும் ($5,110). பந்தயம் வைக்கப்படும் ஒவ்வொரு டாலருக்கும் எதிர்பார்க்கப்படும் இழப்பு எந்த வரம்பிலும் 2.70%.
பிரச்சினை
ஒரு வீரர் சிவப்பில்பந்தயம்சிவப்பு18 சிவப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: rouge.முழுவதும் படிக்கவும் → $10 பந்தயம் வைத்து, ஒவ்வொரு இழப்புக்கும் இரட்டிப்பாக்கி, வெற்றிக்குப் பிறகு மீட்டமைக்கிறார். மேசையின் அதிகபட்சம் $500. (a) எத்தனை தொடர்ச்சியான இழப்புகள் முன்னேற்ற முறையைஉத்திமுன்னேற்ற முறைமுந்தைய முடிவுகளைப் பொறுத்து பந்தயத் தொகையை மாற்றும் எந்த விதியும். எதிர்மறை முன்னேற்றங்கள் இழப்புக்குப் பின் உயர்த்தும்; நேர்மறை முன்னேற்றங்கள் வெற்றிக்குப் பின் உயர்த்தும்.முழுவதும் படிக்கவும் → முறிக்கும்? (b) ஒரு சுழற்சிக்கான நிகழ்தகவுகணிதம்நிகழ்தகவுஒரு முடிவுக்கான வாய்ப்பு; 0 முதல் 1 அல்லது 0% முதல் 100% வரை. ஒரு எண்: 1/37 = 2.70%.முழுவதும் படிக்கவும் → என்ன? (c) முறிவில் எவ்வளவு இழக்கப்படும்? (d) $5,000 வரம்பு விடைகளை எவ்வாறு மாற்றுகிறது? (e) ஏதாவது வரம்பு முறையை இலாபகரமாக்குமா?
தீர்வுகள் (a)–(c)
பந்தயத் தொகைகள்: 10, 20, 40, 80, 160, 320. ஏழாவது 640 > 500 ஆகும்; எனவே ஆறு இழப்புகள் அதை முறிக்கின்றன. (b) சிவப்பில் p(இழப்பு) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, ஒரு சுழற்சிக்கு சுமார் 1.8%. ஒரு சுழற்சி சராசரியாக இரண்டு சுழல்கள் நீடிக்கும்; ஆகவே 100-சுழல் அமர்வில் தோராயமாக 50 சுழற்சிகள் இருக்கும்; p(குறைந்தது ஒரு முறிவு) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630; சுழற்சி வெல்ல முயன்ற $10-க்கு எதிராக 63 அடிப்படை அலகுகள்பணம்அலகுஒரு முறை அல்லது விளையாட்டாளர் பயன்படுத்தும் அடிப்படை பந்தயத் தொகை. எந்த மேசையிலும் பொருந்துமாறு முன்னேற்ற முறைகள் அலகுகளில் விவரிக்கப்படுகின்றன.முழுவதும் படிக்கவும் →.
தீர்வு (d)
$5,000-இல்: 2,560 வரையிலான பந்தயத் தொகைகள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன; பத்தாவது பந்தயமான 5,120 மறுக்கப்படுகிறது. ஒன்பது இழப்புகள் அதை முறிக்கின்றன: (19/37)⁹ ≈ ஒரு சுழற்சிக்கு 0.25%, 100-சுழல் அமர்வுகளில் சுமார் 11%. முறிவில் இழப்பு: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. வீரர் பெரியதொன்றின் விலையில் அரிதான பேரழிவை வாங்கியுள்ளார். பல அமர்வுகளில் முறிவுகளின் எதிர்பார்க்கப்படும் செலவு $500 வரம்பில் p × இழப்பு ≈ 0.0183 × 630 = ஒரு சுழற்சிக்கு $11.5; $5,000-இல் 0.0025 × 5,110 = $12.8; வட்டமிடலுக்குள் அவை ஒரே எண். வெற்றி சுழற்சிகள் ஈட்டும் $10-ஐக் கழித்த சுழற்சியின் எதிர்பார்க்கப்படும் இழப்புகணிதம்எதிர்பார்க்கப்படும் இழப்புஎதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பை மொத்தப் பந்தயத் தொகையால் பெருக்குவது; ஒரு அமர்வு அல்லது காலப்பகுதியில் சராசரியாக இழக்கப்படும் தொகை.முழுவதும் படிக்கவும் → அதுவே.
தீர்வு (e)
இல்லை. ஒவ்வொரு பந்தயமும் தன்னுடைய −1/37 என்பதால், எந்த வரம்பிலும் ஒரு சுழற்சிக்கான எதிர்பார்க்கப்படும் இழப்பு = (சுழற்சியில் எதிர்பார்க்கப்படும் மொத்தப் பந்தயத் தொகை) / 37. பல சிறிய வெற்றிகளுக்கும் சில பெரிய இழப்புகளுக்கும் இடையே இழப்பு எவ்வாறு பகிரப்படுகிறது என்பதை மட்டுமே வரம்பு முடிவு செய்கிறது. வரம்பே இல்லாமல் முடிவிலி விளையாட்டு நிதிபணம்விளையாட்டு நிதிவிளையாடுவதற்காக ஒதுக்கப்பட்ட மொத்தத் தொகை. விளையாட்டு நிதி மேலாண்மை என்பது ஒவ்வொரு பந்தயத்திலும் ஒவ்வொரு அமர்விலும் அதில் எவ்வளவு ஆபத்துக்கு உட்படுத்துவது என்பதை முடிவுசெய்வதாகும்.முழுவதும் படிக்கவும் → இருந்தால் முன்னேற்ற முறை “செயல்படும்”; அதாவது அது ஒருபோதும் முறியாது; மேலும் எல்லையற்ற தொகையைப் பந்தயம் வைத்து, அந்த எல்லையற்ற தொகையின் 2.70% எதிர்பார்க்கப்படும் இழப்பைக் கொண்டிருக்கும். மேசை வரம்புமேசைமேசை வரம்புஅனுமதிக்கப்படும் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச பந்தயம். இரட்டிப்பாக்கும் முன்னேற்ற முறைகளை நிறுத்துவது அதிகபட்சமே.முழுவதும் படிக்கவும் → மார்டிங்கேல்உத்திமார்டிங்கேல்ஒவ்வொரு இழப்புக்குப் பிறகும் பந்தயத்தை இரட்டிப்பாக்கும் முன்னேற்ற முறை. அது என்ன செய்கிறது, என்ன செய்யாது என்பதை உத்திப் பகுதியில் பார்க்கவும்.முழுவதும் படிக்கவும் → செயல்படுவதைத் தடுக்கவில்லை. கணக்குதான் தடுக்கிறது.
இரண்டு உண்மையான மேசைகள்
Thorp-ன் எடுத்துக்காட்டு $1 மேசை, $1,000 அதிகபட்சம்: வீரர் ஒரு டாலர் வீதம் இரவு உணவுக்காக $30 வெல்ல விரும்புகிறார். 1, 2, 4 … 512 பந்தயத் தொகைகள் பத்து பந்தயங்களை அனுமதிக்கின்றன; எனவே தொடர்ந்து பத்து இழப்புகள் முன்னேற்ற முறையை முறிக்கின்றன: ஐரோப்பிய சக்கரத்தில் 785 சுழற்சிகளில் ஒருமுறை (அமெரிக்க சக்கரத்தில் 613-ல் ஒருமுறை), $1,023 செலவில். முப்பது சுழற்சிகளும் 96.2% நேரம் வெல்கின்றன. மற்ற 3.8% சுமார் $1,000 இழக்கின்றன; அந்த மாலையின் சராசரி முடிவு −$9.17; அது முப்பது சுழற்சிகள் சராசரியாகப் பந்தயம் வைக்கும் $339-ன் துல்லியமாக 1/37. $2,000 அதிகபட்சமுள்ள $5 மேசையும் வேறல்ல: $1,280 வரையிலான பந்தயத் தொகைகள் ஒன்பது பந்தயங்களை அனுமதிக்கின்றன; ஐரோப்பிய சக்கரத்தில் முறிவு 403 சுழற்சிகளில் ஒருமுறை (அமெரிக்க சக்கரத்தில் 323-ல் ஒருமுறை) வந்து $2,555 செலவாகிறது.
பணக்கார வீரர்
குறைந்த வரம்புக்குப் பதிலாக முன்னேற்ற முறைக்கு ஆழமான விளையாட்டு நிதியைக் கொடுங்கள்: 1,000 அலகுகள், ஒரு அலகு அடிப்படை, சிவப்பில் 1,000 சுழல்கள்; அடுத்த இரட்டிப்பு மீதமுள்ளதை விட அதிகமான போதெல்லாம் மீண்டும் ஒரு அலகில் தொடங்குங்கள். அத்தகைய பத்து லட்சம் மாலைகளை உருவகப்படுத்தினோம். ஐரோப்பிய சக்கரத்தில் 52% முன்னிலையில் முடிகின்றனர்; 21% அனைத்தையும் இழக்கின்றனர்; சராசரி முடிவு −124 அலகுகள். பூஜ்யமேசக்கரம்பூஜ்யம்எந்த சமத் தொகை, டசன், நெடுவரிசைப் பந்தயமும் மூடாத ஒரே பச்சைக் குழி; கேசினோ விளிம்பின் மூலாதாரம். ஒற்றைப் பூஜ்யம், 0 என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → இல்லாத, ஒவ்வொரு பந்தயமும் நியாயமான விளையாட்டில்கூட சுமார் 60% மட்டுமே முன்னிலையில் முடிவடையும். வழக்கமான மாலை சிறிய வெற்றி; பூஜ்யத்தில் முடியும் மாலைகள்தான் சராசரிக்குப் பணம் செலுத்துகின்றன.
பாடம்
கேசினோக்கள் தங்கள் மாறுபாட்டைகணிதம்மாறுபாடுமுடிவுகள் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைச் சுற்றி எவ்வளவு பரவலாகப் பரவுகின்றன என்பதற்கான அளவு. நேரடி எண் பந்தயத்தில் அதிகம்; சமத் தொகைப் பந்தயங்களில் குறைவு.முழுவதும் படிக்கவும் → வரம்பிடவே உச்சவரம்புகளை அமைக்கின்றன; முறைகளைத் தோற்கடிக்க அல்ல. மார்டிங்கேலைத் தோற்கடிப்பது அவர்களுக்கு வரவேற்கத்தக்க பக்கவிளைவு; கணக்கு எப்படியும் அதைத் தோற்கடிக்கும். வரம்புதான் பிரச்சினை என நினைக்கும் வீரர் பள்ளத்தாக்கைக் கண்டுபிடித்து அதைச் சரிவாகத் தவறாகக் கருதுகிறார்.
சூத்திரம்
கேள்விகள்
முறிவு அரிதாகவும் பெரியதாகவும் இருக்கும் உயர் வரம்பு வரை அது உங்களைத் தக்கவைக்கிறது. ஒரு டாலருக்கான எதிர்பார்க்கப்படும் இழப்பு மாறாது.
பந்தயத் தொகைகள் 10, 30, 70, 150, 310: ஐந்து இழப்புகளுக்குப் பிறகு $500 வரம்பை அடைகிறது; முறிவு $570 செலவாகிறது. அதே 2.70%.
ஒரு வீரர் கேசினோவின் கையிருப்பு வசதியாகச் செலுத்தக்கூடியதை விட அதிகமாகப் பந்தயம் வைக்க முடியாதபடி. மாறுபாட்டு மேலாண்மை.
கணிதத்துடன் விளையாட்டு
முதலில் இவற்றை நீங்களே முயற்சிக்கவும். ஒவ்வொரு தீர்வும் மடக்கப்பட்டுள்ளது; தயாரானபோது திறக்கவும்.
Martingaleஉத்திமார்டிங்கேல்ஒவ்வொரு இழப்புக்குப் பிறகும் பந்தயத்தை இரட்டிப்பாக்கும் முன்னேற்ற முறை. அது என்ன செய்கிறது, என்ன செய்யாது என்பதை உத்திப் பகுதியில் பார்க்கவும்.முழுவதும் படிக்கவும் → சிவப்பில்பந்தயம்சிவப்பு18 சிவப்பு எண்களில் சமத் தொகைப் பந்தயம். பிரெஞ்சில்: rouge.முழுவதும் படிக்கவும் → $100 இல் தொடங்கி, ஒரு சுழற்சிக்கு அதிகபட்சம் n பந்தயங்களை அனுமதிக்கிறது: தொடர்ந்து n தோல்விகளுக்குப் பிறகு கைவிட்டு மீண்டும் தொடங்குகிறது. ஒரு சுழற்சியின் சராசரி முடிவை n இன் சூத்திரமாக எழுதுங்கள்; ஐரோப்பிய சக்கரத்தில் 5, 6, 7 பந்தயங்களுக்கு அதைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வைக் காட்டு
பதில் சராசரி 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 பந்தயங்களுக்கு −$14.26, 6 க்கு −$17.35, 7 க்கு −$20.52. அதிக பந்தயங்களை அனுமதிப்பது சராசரி சுழற்சியை மேம்படுத்தாது; மோசமாக்கும்.
n பந்தயங்களும் தோற்காவிட்டால் ஒரு சுழற்சி $100 வெல்லும்; அந்த நிகழ்தகவு qⁿ, q = 19/37. அனைத்தும் தோற்றால், பந்தயத் தொகைகள் 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ எனச் சேர்ந்து 100 × (2ⁿ − 1). எனவே சராசரி 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
இங்கு 2q = 38/37, 1 ஐ விடச் சிறிது அதிகம்; ஆகவே (2q)ⁿ, n உடன் வளர்ந்து சராசரி குறையும்: n = 5, 1.1426 மற்றும் −$14.26; n = 6, 1.1735 மற்றும் −$17.35; n = 7, 1.2052 மற்றும் −$20.52. நீளமான ஏணி 3.6%, 1.8%, 0.9% சுழற்சிகளில் குறைவாகத் தோற்கிறது; ஆனால் ஒவ்வொரு தோல்வியும் இருமடங்கு பெரியது; ஒவ்வொரு சுழற்சியிலும் அதிகப் பணம் மேசையைக் கடக்கிறது, ஒவ்வொரு பந்தயத்திலும் 2.70%.
அமெரிக்க சக்கரத்தில் 2q = 40/38; எண்கள் −$29.24, −$36.04, −$43.20 (Taylor, 2021). பூஜ்யம்சக்கரம்பூஜ்யம்எந்த சமத் தொகை, டசன், நெடுவரிசைப் பந்தயமும் மூடாத ஒரே பச்சைக் குழி; கேசினோ விளிம்பின் மூலாதாரம். ஒற்றைப் பூஜ்யம், 0 என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.முழுவதும் படிக்கவும் → இல்லாத விளையாட்டில் 2q = 1; ஏணி எவ்வளவு நீளமானாலும் ஒவ்வொரு சுழற்சியின் சராசரி துல்லியமாக பூஜ்யம்.
“grand Martingale” தோல்விக்குப் பிறகு பந்தயத் தொகையை இரட்டிப்பாக்கி ஒரு அலகைபணம்அலகுஒரு முறை அல்லது விளையாட்டாளர் பயன்படுத்தும் அடிப்படை பந்தயத் தொகை. எந்த மேசையிலும் பொருந்துமாறு முன்னேற்ற முறைகள் அலகுகளில் விவரிக்கப்படுகின்றன.முழுவதும் படிக்கவும் →ச் சேர்க்கிறது; எனவே தொகைகள் 1, 3, 7, 15, 31 … ஆகும். முதல் வெற்றி 1st, 2nd, 3rd அல்லது kth பந்தயத்தில் வந்தால் எவ்வளவு முன்னிலையில் இருப்பீர்கள்? $10 அலகு, $500 அதிகபட்சம் என்றால் ஒரு சுழற்சி எவ்வளவு அடிக்கடி முறியும், சராசரியாக என்ன செலவாகும்?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் kth பந்தயத்தில் வெற்றி k அலகுகள் முன்னிலையில் விடும்: +1, +2, +3 எனத் தொடரும். $10, $500 இல் சுழற்சி ஐந்து தோல்விகளுக்குப் பிறகு முறிகிறது; 3.57% சுழற்சிகளில், −$570. சராசரியாக ஒரு சுழற்சி $85.73 பந்தயத் தொகையில் $2.32 இழக்கிறது: 2.70%.
kth பந்தயத் தொகை 2ᵏ − 1 அலகுகள்: 1, 3, 7, 15, 31. முதல் k − 1 பந்தயத் தொகைகள் 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. kth பந்தய வெற்றி 2ᵏ − 1 செலுத்துகிறது; ஆகவே சுழற்சி (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k அலகுகள் முன்னிலையில் முடிகிறது: வெற்றிக்கு முந்தைய ஒவ்வொரு தோல்விக்கும் ஒரு கூடுதல் அலகு.
$10 அலகில் தொகைகள் $10, $30, $70, $150 மற்றும் $310; அடுத்தது $630, $500 அதிகபட்சத்தை மீறுகிறது. தொடர்ந்து ஐந்து தோல்விகள், (19/37)⁵ = 3.57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 செலவாக்கும்.
சராசரி: வெற்றிகள் $10 × k ஐ (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 வாய்ப்பில், k = 1 to 5 க்கு தருகின்றன; முறிவு 3.57% வாய்ப்பில் $570 எடுக்கிறது; சேர்த்து −$2.32. வைக்கப்பட்ட பணம் ஒரு சுழற்சிக்கு சராசரி $85.73; 2.32/85.73 = 2.70%. அதே மேசையில் சாதாரண Martingale ஆறு தோல்விகளுக்குப் பிறகு முறிகிறது, 1.83% சுழற்சிகளில், −$630; $64.20 பந்தயத் தொகையில் $1.74 இழக்கிறது: மீண்டும் 2.70%.
ஒரு வீரர் சிவப்பில் $1 முதல் பந்தயத்துடன் Martingale ஐத் திட்டமிடுகிறார்; மேசையின் வரம்பு $1,000; எனவே பத்து பந்தயங்கள் சாத்தியம்: $1, $2, $4 என $512 வரை. ஒரு சுழற்சி பத்தையும் இழப்பது எவ்வளவு அடிக்கடி, அதற்கு சராசரியாக எவ்வளவு நேரம், 200 பந்தய மாலை எவ்வளவு அடிக்கடி அவ்வாறு முடியும்?
தீர்வைக் காட்டு
பதில் ஒரு சுழற்சி பத்தையும் இழப்பது சுமார் 784 இல் ஒருமுறை; செலவு $1,023. சராசரியாக சுமார் 1,600 பந்தயங்கள்; 200 பந்தய மாலை சுமார் 11% நேரம் வரம்பைத் தாக்கும். ஒரு சுழற்சி இன்னும் $11.31 பந்தயத் தொகையில் சராசரியாக $0.31 இழக்கிறது: 2.70%.
சிவப்பின் பந்தயம், பூஜ்யம் உட்பட, 19/37 வாய்ப்பில் தோற்கிறது. தொடர்ந்து பத்து: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, சுமார் 784 இல் 1. பந்தயத் தொகைகள் 1 + 2 + 4 + … + 512 சேர்ந்து $1,023.
ஒரு சுழற்சி சராசரியாக 2.05 பந்தயங்கள் எடுக்கிறது; ஆகவே 784 சுழற்சிகள் சுமார் 1,600 பந்தயங்கள் எடுக்கும். சுழல் சுழலாக எண்ணினால், 200 பந்தயங்களில் தொடர்ச்சியான பத்து தோல்வி எங்காவது நிகழ்வது 11.3%.
பேரழிவுகளுக்கு இடையில் வீரர் ஒரு சுழற்சிக்கு $1 வெல்லுகிறார்: மோசமானதற்கு முன் சுமார் $783; பின்னர் −$1,023; முழு இடைவெளியில் சுமார் −$240. ஒரு சுழற்சிக்கு: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. சுழற்சிக்கான பந்தயப் பணம்: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. மேலும் −0.31/11.31 = −2.70%.
$500 வரம்பில் $10 முதல் பந்தயத்துடன், ஆறு பந்தயங்களை ஒப்பிடுங்கள்: வரம்புச் சுவர் 55 சுழற்சிகளில் ஒருமுறை வரும்; 200 பந்தய மாலை அதை 84% நேரம் சந்திக்கும். உயர்ந்த வரம்பு வீழ்ச்சியை அரிதாக்கி பெரிதாக்கும்; மலிவாக்காது.
நகைச்சுவை இடைவெளி
ஒவ்வொரு வரம்பிலும் அரிதும் பெரிதும். பெருக்கல் மாறாதது.
மூலங்கள்
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.